"Признак за делимост на 13: Ако сборът на последната цифра на даденото число умножена с 4 и останалите цифри се дели на 13.""

Нещо в този признак не е наред!

Например: 169=> 9•4+1+6=43. Но 43 не се дели на 13, а 169 се дели! 

Ето и друг пример: 12441=> 1•4+4+4+2+1=15,което не се дели на 13, 12441 се дели. Но при числото 1274=> 4•4 +7+2+1=26.  И 26 и 1274 се делят на 13.

Признака зависи от броя на цифрите дали е четен или нечетен.

За да използваш индукция как ще го съобразиш?

 Е напротив, това нещо се доказва доста лесно. Но аз исках да пробвам доказателство по индукция, но без да ползвам метода за травиалното доказване. Но така и не стана де. Имам впредвид, че и по индукция да доказвам пак се стига до там, че даденото число да го представя като сбор от два израза, в които единия е съответното рпавило, а другия е кратен на 13.

"Признак за делимост на 13: Ако сборът на последната цифра на даденото число умножена с 4 и останалите цифри се дели на 13."

(признаци за делимост)

Това ли е свойството, което проверявате по индукция? Имам чувството, че не е вярно за всяко число, което се дели на 13.